En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.
La función f se dirá continua en A si es continua en todo punto de A. Como no podía ser de otra manera, la continuidad de f ocurre si y sólo si son continuas la funciones coordenadas Re f e im. f. Funciones continuas son los polinomios, las funciones racionales (salvo donde no están definidas), la exponencial y el seno y cósenos complejos. Además, la suma, diferencia, producto, cociente (salvo donde se anule el denominador) y composición de funciones continuas son continuas. También lo son el conjugado f(z) = z (con funciones coordenadas X y −Y) y el módulo f(z) = z (con funciones coordenadas √ x2 + y2 y 0).
Para dotar de rigor al tratamiento del cálculo integral, diferencial, sucesiones, series, etc. Es necesario precisar la noción de continuidad. Esta, es una de las ideas más importantes y fascinantes del análisis matemático, que ha abierto la necesidad y el camino para nuevos cursos de estudio y creación, entre ellos por ejemplo los espacios métricos y los espacios topológicos en general. Para introducirse en la concepción de la noción de continuidad es más sencillo pasar por el significado de su opuesto lógico: la falta de continuidad.
