Matemática Aplicada a la Ingeniería
Aplicaciones de los Números Complejos en la Ingeniería
La ingeniería no existiría sin las matemáticas. A la inversa, la sentencia podría ser falsa, las matemáticas existen, independientemente de la ingeniería. Sin embargo, para los ingenieros, lo importante es convencerse, no de las matemáticas en sí mismas, sino de la aplicación de ellas. Las matemáticas aplicadas son las que han permitido lograr el desarrollo que ha alcanzado la ingeniería.
El objeto formal de la ingeniería es la mejora de la calidad de vida de la humanidad, su objeto material es la naturaleza. El término naturaleza es muy amplio, un primer acercamiento a su significado lo encontramos en el orden semántico que los diccionarios explican como el “conjunto de seres y cosas que forman el universo y en los que no ha intervenido el hombre”. La realidad del universo no esta en duda, ni es motivo de nuestra atención en este ensayo, las caídas de agua “naturales” que existen en nuestro planeta, como por ejemplo, la bella cascada de la Tzaráracua en el estado de Michoacán, las infinidad de pequeños saltos de agua con los que cuenta el estado de Veracruz, o las impresionantes cataratas del Niágara, más allá de nuestras fronteras, han sido diferentes objetos materiales de estudio por parte de la ingeniería, en todas ellas su objeto formal prevalece, el cual es buscar una forma de utilizarlas para lograr una mejora en la calidad de vida de la humanidad. Referente a este ejemplo, surge una palabra muy comúnmente utilizada en Ingeniería Eléctrica, la de “transductor” que significa un instrumento capaz de modificar la energía potencial del agua, en la parte superior de la caída, en energía eléctrica, la cual no solo es de gran utilidad, sino necesaria para vivir en nuestros tiempos modernos. Un enfoque más pragmático sería entender a la naturaleza simplemente como la física, desde el punto de vista de dinámica, o la física, desde el punto de vista de electricidad o desde cualquier otro punto de vista, pero lo fundamental en todos ellos es que son simplemente física o bien, entendido desde un punto de vista más profundo, todos éstos enfoques se refieren a diferentes formas de estudiar las partes de un mismo todo llamado naturaleza.
Las matemáticas son el medio más poderoso que tiene el hombre para comprender al mundo que le rodea, pero no es la única, la simple observación de la naturaleza es también un medio para conocerla, ejemplo de lo anterior fueron las aportaciones realizadas por Benjamín Franklin o por Tomás Alva Edison. Sin embargo, es indiscutible que la aplicación de las matemáticas es lo que ha colocado a la ingeniería en el lugar que ocupa actualmente, este medio, las matemáticas, tiene principios muy antiguos, como el cálculo del número p, que data de civilizaciones previas a la griega o con el triángulo que cuenta con un ángulo recto, ya que hasta la fecha el número de veces que cabe el radio en la circunferencia sigue siendo el mismo que en las circunferencias del pasado, y de la misma forma, el teorema de Pitágoras se sigue cumpliendo con los triángulos rectángulos de nuestra época.
Los logros de la ingeniería a los que nos hemos referido en más de una ocasión son palpables y objetivos, a través de los aparatos tecnológicos, que día con día se amalgaman a nuestra vida cotidiana, el vehículo que nos traslada a nuestro centro de trabajo, el teléfono que nos comunica a distancia, el horno de microondas y el refrigerador que nos ayudan a proporcionarnos los alimentos adecuados que requerimos así como todos los demás equipos que en mayor o menor medida utilizamos en nuestra vida diaria han sido producto, todos ellos, de la aplicación de las matemáticas, para conocer las leyes de la termodinámica y de la mecánica y así construir el motor de combustión interna, del modelo propuesto por Maxwell para representar con sus ecuaciones a las ondas electromagnéticas que desde siempre han existido en la naturaleza o de las ecuaciones de la temperatura y la electricidad para aumentar y disminuir la primera a voluntad, en el horno y en el refrigerador respectivamente. Pero las matemáticas solo están en la naturaleza en la medida que el hombre piense acorde a la realidad, acorde a la verdad, cuando así lo hace, las matemáticas se reflejan en toda ella.
Los números complejos ofrecen un sistema de búsqueda de las raíces de polinomios y polinomios se utilizan como modelos teóricos en varios campos. Entre estas áreas especializadas son la ingeniería y la mecánica cuántica. Temas de la utilización de números complejos incluyen la investigación de la corriente eléctrica, el flujo de longitud de onda, líquido en relación con los obstáculos, el análisis de la tensión en las vigas, el movimiento de los amortiguadores en los automóviles, el estudio de la resonancia de las estructuras, el diseño de dínamos y motores eléctricos, y la manipulación de matrices de grandes dimensiones utilizados en el modelaje.
1. El mejor ejemplo es un circuito eléctrico que contiene un inductor. Una dinámica corriente que fluye en un circuito puede ser descrito por un número complejo. La parte real de esta descripción se refiere al flujo de electrones en curso. La parte imaginaria de esa descripción se refiere al campo magnético asociado con el inductor. Lo que pierdes en ganancia de corriente de electrones que en el campo magnético y viceversa. Así, tanto la parte real y la parte imaginaria del número complejo representa "real" cantidades en el mundo "real". Parte real del número complejo siempre representan una cantidad de corriente de electrones mayor o igual a cero y el signo (+ o -) representa la dirección que la corriente está en movimiento. Sin embargo, cuando algunos de la corriente de electrones se convierte en energía del campo magnético por el inductor no puede representar que, ya sea positivo o negativo. Necesitamos una nueva "dirección" que se llama i de "imaginario". Esta nueva dirección también puede ser positivo o negativo. En otras palabras, el campo magnético puede estar creciendo (la dirección imaginaria positiva) o colapso (la dirección imaginario negativo). En este caso, el número complejo no es más misterioso que cualquier otro número. Otro ejemplo es el electromagnetismo. En lugar de tratar de describir un campo electromagnético por dos cantidades reales (intensidad de campo eléctrico y la fuerza del campo magnético), que se describe mejor como un único número complejo, de los cuales la electricidad y componentes magnéticos son simplemente las partes reales e imaginarias.
2.Son muy útiles cuando se estudia cualquier sistema que tenga cualquier oscilación sinusoidal. Cuando los ingenieros eléctricos analizados circuitos de corriente alterna, encontraron que la cantidad de voltaje, corriente e impedancia no eran las cantidades escalares unidimensional-familiar que se utilizan en la medición de circuitos de corriente continua. Estas cantidades que ahora se alternan en la dirección y la amplitud poseen otras dimensiones (frecuencia y el cambio de fase) que deben ser tenidos en cuenta.
3.En electrónica, el estado de un elemento de circuito es descrito por dos números reales (el voltaje V y la corriente I). Un elemento de circuito también pueden poseer una capacidad C y una inductancia L que describen su tendencia a resistirse a los cambios de voltaje y corriente, respectivamente. En lugar de circuito elemento de estado el tener que ser designados por dos números reales distintos V y yo, que puede ser descrito por un único número complejo z = V + II. Del mismo modo, inductancia y capacitancia se puede considerar como la parte real e imaginaria de otro número complejo w = C + sola iL. Las leyes de la electricidad puede ser expresado usando la suma y la multiplicación compleja. Utilizando el plano complejo, podemos representar voltajes a través de resistencias, condensadores e inductores.
4.Además, los números complejos son obligatorios en la mecánica cuántica. Como dice Feynman en las Conferencias "de Física de Feynman", no hay ninguna manera se puede formular la mecánica cuántica sin tener que recurrir a los números complejos. También hay un campo de las matemáticas llamado "análisis complejo" que estudia las funciones y el cálculo en el plano complejo en lugar de números reales. Proporciona muchos métodos matemáticos en el análisis real se queda corto. Fourier y Laplace transformaciones que son muy importantes en el dominio de análisis de frecuencia de las funciones también hacen un uso intensivo de los números complejos.
5.En control para representar los retardos entre las señales de realimentación, corrección y error en un sistema.
6.En ingeniería mecánica para representar la relación espacial de los esfuerzos en un sistema o internamente en un material.
7.En ingeniería civil para representar esfuerzos en estructuras, pendeos.
8.En ingeniería hidráulica para poner en números el comportamiento de los fluidos.
9 En aeronáutica para representar las fuerzas resultantes (en las estructuras mecánicas) pero también en las fuerzas de sustentación.
Aplicaciones de los Números Complejos en la Ingeniería
La ingeniería no existiría sin las matemáticas. A la inversa, la sentencia podría ser falsa, las matemáticas existen, independientemente de la ingeniería. Sin embargo, para los ingenieros, lo importante es convencerse, no de las matemáticas en sí mismas, sino de la aplicación de ellas. Las matemáticas aplicadas son las que han permitido lograr el desarrollo que ha alcanzado la ingeniería.
El objeto formal de la ingeniería es la mejora de la calidad de vida de la humanidad, su objeto material es la naturaleza. El término naturaleza es muy amplio, un primer acercamiento a su significado lo encontramos en el orden semántico que los diccionarios explican como el “conjunto de seres y cosas que forman el universo y en los que no ha intervenido el hombre”. La realidad del universo no esta en duda, ni es motivo de nuestra atención en este ensayo, las caídas de agua “naturales” que existen en nuestro planeta, como por ejemplo, la bella cascada de la Tzaráracua en el estado de Michoacán, las infinidad de pequeños saltos de agua con los que cuenta el estado de Veracruz, o las impresionantes cataratas del Niágara, más allá de nuestras fronteras, han sido diferentes objetos materiales de estudio por parte de la ingeniería, en todas ellas su objeto formal prevalece, el cual es buscar una forma de utilizarlas para lograr una mejora en la calidad de vida de la humanidad. Referente a este ejemplo, surge una palabra muy comúnmente utilizada en Ingeniería Eléctrica, la de “transductor” que significa un instrumento capaz de modificar la energía potencial del agua, en la parte superior de la caída, en energía eléctrica, la cual no solo es de gran utilidad, sino necesaria para vivir en nuestros tiempos modernos. Un enfoque más pragmático sería entender a la naturaleza simplemente como la física, desde el punto de vista de dinámica, o la física, desde el punto de vista de electricidad o desde cualquier otro punto de vista, pero lo fundamental en todos ellos es que son simplemente física o bien, entendido desde un punto de vista más profundo, todos éstos enfoques se refieren a diferentes formas de estudiar las partes de un mismo todo llamado naturaleza.
Las matemáticas son el medio más poderoso que tiene el hombre para comprender al mundo que le rodea, pero no es la única, la simple observación de la naturaleza es también un medio para conocerla, ejemplo de lo anterior fueron las aportaciones realizadas por Benjamín Franklin o por Tomás Alva Edison. Sin embargo, es indiscutible que la aplicación de las matemáticas es lo que ha colocado a la ingeniería en el lugar que ocupa actualmente, este medio, las matemáticas, tiene principios muy antiguos, como el cálculo del número p, que data de civilizaciones previas a la griega o con el triángulo que cuenta con un ángulo recto, ya que hasta la fecha el número de veces que cabe el radio en la circunferencia sigue siendo el mismo que en las circunferencias del pasado, y de la misma forma, el teorema de Pitágoras se sigue cumpliendo con los triángulos rectángulos de nuestra época.
Los logros de la ingeniería a los que nos hemos referido en más de una ocasión son palpables y objetivos, a través de los aparatos tecnológicos, que día con día se amalgaman a nuestra vida cotidiana, el vehículo que nos traslada a nuestro centro de trabajo, el teléfono que nos comunica a distancia, el horno de microondas y el refrigerador que nos ayudan a proporcionarnos los alimentos adecuados que requerimos así como todos los demás equipos que en mayor o menor medida utilizamos en nuestra vida diaria han sido producto, todos ellos, de la aplicación de las matemáticas, para conocer las leyes de la termodinámica y de la mecánica y así construir el motor de combustión interna, del modelo propuesto por Maxwell para representar con sus ecuaciones a las ondas electromagnéticas que desde siempre han existido en la naturaleza o de las ecuaciones de la temperatura y la electricidad para aumentar y disminuir la primera a voluntad, en el horno y en el refrigerador respectivamente. Pero las matemáticas solo están en la naturaleza en la medida que el hombre piense acorde a la realidad, acorde a la verdad, cuando así lo hace, las matemáticas se reflejan en toda ella.
Los números complejos ofrecen un sistema de búsqueda de las raíces de polinomios y polinomios se utilizan como modelos teóricos en varios campos. Entre estas áreas especializadas son la ingeniería y la mecánica cuántica. Temas de la utilización de números complejos incluyen la investigación de la corriente eléctrica, el flujo de longitud de onda, líquido en relación con los obstáculos, el análisis de la tensión en las vigas, el movimiento de los amortiguadores en los automóviles, el estudio de la resonancia de las estructuras, el diseño de dínamos y motores eléctricos, y la manipulación de matrices de grandes dimensiones utilizados en el modelaje.
1. El mejor ejemplo es un circuito eléctrico que contiene un inductor. Una dinámica corriente que fluye en un circuito puede ser descrito por un número complejo. La parte real de esta descripción se refiere al flujo de electrones en curso. La parte imaginaria de esa descripción se refiere al campo magnético asociado con el inductor. Lo que pierdes en ganancia de corriente de electrones que en el campo magnético y viceversa. Así, tanto la parte real y la parte imaginaria del número complejo representa "real" cantidades en el mundo "real". Parte real del número complejo siempre representan una cantidad de corriente de electrones mayor o igual a cero y el signo (+ o -) representa la dirección que la corriente está en movimiento. Sin embargo, cuando algunos de la corriente de electrones se convierte en energía del campo magnético por el inductor no puede representar que, ya sea positivo o negativo. Necesitamos una nueva "dirección" que se llama i de "imaginario". Esta nueva dirección también puede ser positivo o negativo. En otras palabras, el campo magnético puede estar creciendo (la dirección imaginaria positiva) o colapso (la dirección imaginario negativo). En este caso, el número complejo no es más misterioso que cualquier otro número. Otro ejemplo es el electromagnetismo. En lugar de tratar de describir un campo electromagnético por dos cantidades reales (intensidad de campo eléctrico y la fuerza del campo magnético), que se describe mejor como un único número complejo, de los cuales la electricidad y componentes magnéticos son simplemente las partes reales e imaginarias.
2.Son muy útiles cuando se estudia cualquier sistema que tenga cualquier oscilación sinusoidal. Cuando los ingenieros eléctricos analizados circuitos de corriente alterna, encontraron que la cantidad de voltaje, corriente e impedancia no eran las cantidades escalares unidimensional-familiar que se utilizan en la medición de circuitos de corriente continua. Estas cantidades que ahora se alternan en la dirección y la amplitud poseen otras dimensiones (frecuencia y el cambio de fase) que deben ser tenidos en cuenta.
3.En electrónica, el estado de un elemento de circuito es descrito por dos números reales (el voltaje V y la corriente I). Un elemento de circuito también pueden poseer una capacidad C y una inductancia L que describen su tendencia a resistirse a los cambios de voltaje y corriente, respectivamente. En lugar de circuito elemento de estado el tener que ser designados por dos números reales distintos V y yo, que puede ser descrito por un único número complejo z = V + II. Del mismo modo, inductancia y capacitancia se puede considerar como la parte real e imaginaria de otro número complejo w = C + sola iL. Las leyes de la electricidad puede ser expresado usando la suma y la multiplicación compleja. Utilizando el plano complejo, podemos representar voltajes a través de resistencias, condensadores e inductores.
4.Además, los números complejos son obligatorios en la mecánica cuántica. Como dice Feynman en las Conferencias "de Física de Feynman", no hay ninguna manera se puede formular la mecánica cuántica sin tener que recurrir a los números complejos. También hay un campo de las matemáticas llamado "análisis complejo" que estudia las funciones y el cálculo en el plano complejo en lugar de números reales. Proporciona muchos métodos matemáticos en el análisis real se queda corto. Fourier y Laplace transformaciones que son muy importantes en el dominio de análisis de frecuencia de las funciones también hacen un uso intensivo de los números complejos.
5.En control para representar los retardos entre las señales de realimentación, corrección y error en un sistema.
6.En ingeniería mecánica para representar la relación espacial de los esfuerzos en un sistema o internamente en un material.
7.En ingeniería civil para representar esfuerzos en estructuras, pendeos.
8.En ingeniería hidráulica para poner en números el comportamiento de los fluidos.
9 En aeronáutica para representar las fuerzas resultantes (en las estructuras mecánicas) pero también en las fuerzas de sustentación.
Podemos tener claro, que sin ninguna duda los números complejos son de gran importancia para la ingeniería. Gracias a que los ingenieros lograron darle muy buenas aplicaciones, en cada rama en cual se podían aplicar. Estos han permitido el desarrollo en grandes cantidades de la tecnología y que todo en este momento sea más cómodo la vivencia del hombre en el planeta.
